1. Что касается сроков исполнения решения суда. Сроки могут быть установлены в решении суда. После вынесения решения суда, Вам должен быть выдан судом исполнительный лист, который Вы можете также предъявить не судебным приставам, а непосредственно в банк, если Вам известна информация о наличии денежных средств у бывшего супруга в определенных банках. Иначе, Вам следует отправить исполнительный лист в отдел судебных приставов. Пристав-исполнитель даёт время должнику на добровольное исполнение решения суда. Если добровольного исполнения нет, то пристав направляет запросы в различные учреждения и организации с целью выяснить наличие у должника имущества и источников дохода. Тут Вы и можете ускорить процесс, сообщая приставу информацию об имуществе бывшего супруга. Советую пристава постоянно контролировать и помогать (предоставлением информации), так как в виду большой загруженности судебных приставов, производство по Вашему делу может тянуться крайне медленно.
2. Если Вы на 100% (как следует из вопроса) уверены, что родили дочь от этого мужчины, то Вам нечего бояться оплаты теста ДНК и судебных расходов. Судебные расходы присуждают оплачивать ответчику полностью или частично в случае проигрыша дела.
3. Теоретически Вы можете оспорить сделку бывшего супруга по продаже автомобиля, купленного в период брака с Вами. Однако, учитывая, что раздел имущества уже состоялся, без изучения Ваших документов нельзя однозначно Вам это рекомендовать, так как в большинстве случаев в суд нельзя обращаться дважды для решения одного и того же вопроса.
4. Думаю, что в этой ситуации отец не имеет оснований для снятия с регистрации своего ребенка.
5. Вы не имеете никаких прав на квартиру бывшего супруга, приобретенную им до брака. Ребенок сохраняет за собой право наследования в случае смерти родителя, а также право проживать в квартире совместно с родителем (отцом).
С уважением, юрист Ивченко Маргарита.