Уважаемая Настя!
Место жительство ребёнка определяется по месту жительства родителей. То есть сменить место регистрации ребёнка возможно, если по новому месту жительства ребёнок будет проживать с Вами.
Вопрос о выделении доли в квартире находящейся в залоге в первую очередь нужно решать с банком, так как это может существенно изменить условия договора - банк может потребовать, чтобы ребёнок был включен в договор в качестве созаемщика (в лице законного представителя).
Органы опеки и попечительства защищают интересы ребёнка, а именно следят, чтобы не ухудшилось имущественное положение ребёнка.Так разрешение "опеки" может понадобиться на продажу комнаты, если ребёнок является собственником части комнаты, а также на включение рёбенка в кредитный договор. При включении ребёнка в число собственников квартиры, находящейся в ипотеке, органы опеки могут потребовать нотариально заверенное согласие третьего лица на регистрацию Вашего ребёнка по месту жительства третьего лица в случае если договорные обязательства не будут исполнены и ребёнок лишится собственности, находящейся в ипотеке. Главное условие для "опеки" - чтобы имущество (количество квадратных метров жилья) ребёнка при любом развитии событий не стало меньше и ребёнок имел регистрацию по месту жительства родителя (законного представителя).
С уважением, юрист Ивченко Маргарита.